Durietz à propos de l'arithmétique

Publié le par Joseph Jacotot


Pages 122 à 129

ARITHMÉTIQUE

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    Prendre un livre d'arithmétique, en faire  la lecture, raconter ce qu'on a lu et en faire la vérification, telle est toujours la méthode, d'après le mode d'unité qui la caractérise.

    Le choix du livre étant fait ( ce sera , par exemple, Bézout ou mieux encore l'arithmétique de Lacroix, comme plus méthodique),  l'élève lit les premières pages le plus vite possibe, afin d'arriver aux règles, ou plutôt aux faits d'où elles sont tirées.

    La NUMÉRATION  lui apprend d'abord que la langue des calculs emploie dix mots simples, et dix caractères qui les représentent dans l'écriture. Quand il sait ces mots et ces signes, il voit par quel artifice, en les combinant avec les mots collectifs "centaine, mille, million, billion"
etc., on peut composer et représenter tous les nombres imaginables.

    Après avoir lu la numération, l'élève la raconte. Ensuite il réfléchit, et on vérifie s'il comprend bien ce qu'il a retenu.
On lui fait par exemple les questions suivantes:

- Quand un nombre renferme des mille, combien a-t-il de chiffres?
- Quatre.
- Comment voyez-vous cela?
- En remarquant que les unités, les dizaines et les centaines, qui précèdent les mille, emploient trois chiffres.
-  Dans quel ordre écrit-on les nombres?
- Les unités sont à droite, les dizaines à leur gauche, viennent ensuite et toujours en avançant vers la gauche, les centaines, les mille, etc.
-  A quelle place sont les millions?
-  A la septième  vers la gauche.
-  Pourquoi?
- Parce que les unités, avec leurs dizaines et leurs centaines occupent trois chiffres, et que les milles qui ont aussi leurs dizaines et leurs centaines en occupent trois autres. En tout six chiffres avant celui des millions.
-  Comment ferez-vous représenter au chiffre 3 un nombre dix fois plus grand que celui qu'il exprime?
-  En écrivant un zéro à sa droite.
-  Comment ce nombre devient-il ainsi dix fois plus grand?
-  Parce  que étant alors à la seconde place, vers la gauche, il marque trois dizaines au lieu de trois unités.

    Ces questions sont pour ainsi dire toutes posées dans le livre, et l'élève y répond d'après ses remarques.

    En faisant lire, relire, raconter et vérifier, on fera toujours copier avec soin à l'élève les nombres de son livre. Il faut qu'il y soit très exercé, car il n'y a pas d'écriture qui demande plus d'exactitude que celle des chiffres, ici les fautes d'orthographe ( si l'on peut s'exprimer ainsi comparativement ) renversent entièrement le sens de l'expression, et l'omission, l'addition d'un signe, ou sa mauvaise construction, en le rendant équivoque, conduisent à des résultats dont le moindre inconvénient est la perte de temps, et la suite, des erreurs dangereuses, quand leur absurdité n'est pas telle qu'elle frappe tout d'abord. Le maître doit donc veiller à ce que l' élève écrive ses chiffres avec ordre et correction, et l'habituer à vérifier, avant tout calcul, l'expression des chiffres qu'il pose.

    Arrivé à l'addition, l'élève prend le premier exemple proposé par l'auteur; il en écrit les nombres les uns sous les autres dans la même disposition, excepté celui placé sous la barre, qui est le résultat de l'opération. Ce résultat, l'élève doit s'appliquer à le trouver, d'après le procédé indiqué, chiffre par chiffre, dans le livre.

    Quand il y est parvenu, il réfléchit sur tous les détails de ce qu'il a fait. Il raconte de quelle manière il a opéré, en regardant ses chiffres, afin de suivre son travail par ordre. Cette vérification lui montre :

- Qu'il a d'abord écrit les nombres à additionner les uns aux autres, de manière que les chiffres de même ordre se trouvassent dans une même colonne de haut en bas; c'est à dire les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines, les centaines sous les centaines, et ainsi des autres.

- Qu'ensuite il a tracé une ligne sous ces nombres, afin de séparer le résultat qu'il a cherché, et dont il  écrit à mesure les chiffres sous cette ligne.

- Qu'enfin, pour trouver ce résultat, il a ajouté les uns aux autres les nombres exprimés par les chiffres de la colonne des unités.

- Qu'ayant trouvé dans la réunion de ces nombres un nouveau nombre contenant des dizaines et des unités, il a écrit ces unités sous la colonne correspondante.

- Qu'il a retenu par la pensée les dizaines de ce même nombre pour les ajouter aux dizaines de la colonne suivante; qu'il a en effet compté les dizaines retenues avec le premier chiffre de la colonne des dizaines, qu'il y a successivement ajouté la valeur des autres chiffres de  la même colonne en descendant, et que le tout ayant produit  un nombre renfermant des centaines et des dizaines, il a écrit celle ci seulement, et retenu les centaines pour les ajouter à la colonne qui leur est réservée.

- Qu'ayant opéré sur cette colonne comme sur les précédentes, il a trouvé des mille et des centaines, qu'il a écrit ces dernières et retenu les milles pour les joindre à la colonne des mille, sous laquelle il a posé le nombre tel qu'il l'a trouvé, parce qu'il n'y avait plus de colonne où il pût rien reporter. "

    L'élève s'exerce en variant les nombres à additionner, et en multipliant les exemples il en rencontre où, la colonne des unités ne passant pas neuf, il y a tout à écrire et rien à retenir. Il en remarque dans lesquels les dizaines ne passant pas neuf, il n'y a pas non plus de centaines à reporter, et il écrit les dizaines trouvées, etc. Alors, en résumant ce qu'il a fait pour la première opération et ce que les autres lui ont appris, il se rend un compte général qu'il trouve en tout conforme à la règle prescrite par l'auteur pour faire l'addition.

    Ainsi, en arithmétique comme en grammaire et en toute chose, c'est l'observation des faits, la réflexion et l'émancipation qui en résulte pour l'intelligence, qui conduisent l'élève à généraliser ses idées et à trouver lui-même les règles, et toujours sans explication du maître, dont la tache se borne à ce résumé:

Lisez - Qu'avez -vous lu? - Relisez - Qu'avez-vous retenu? - Réfléchissez.- Quel rapport avez-vous aperçu ?

    On lit ensuite jusqu'à la soustraction. On la fait comme indique l'auteur, en répétant tous les exemples et en les multipliant jusqu'à ce qu'on sache l'opération.  En vérifiant tout ce qu'on a fait, on arrive à une récapitulation qui exprime la règle générale de Lacroix pour soustraire un nombre d'un autre.

Le maître fait des questions comme les suivantes:

- Que faites vous quand le chiffre supérieur et l'inférieur sont de valeur égale.
- Que devient la valeur des zéros par-dessus lesquels vous passez pour emprunter plus loin? etc.

N'oublions pas qu'en passant par une règle nouvelle, il faut sans cesse revenir sur ce qui précède. Ce n'est qu'ainsi qu'on grave la science dans la mémoire et qu'on réveille le raisonnement.

On continue jusqu'à la multiplication. On ne peut faire cette opération qu'en sachant imperturbablement par coeur la table de multiplication. Il faut donc l'apprendre et la répéter tous les jours. Lacroix donne celle de Pythagore. Mais cette marche a l'inconvénient de n'être pas commode à étudier. Sa marche pour savoir, par exemple, combien font 3 fois 4, est de chercher dans la première colonne à gauche, en descendant le chiffre 3 et de suivre horizontalement jusque sous le chiffre 4 de la ligne transversale supérieure, où l'on trouve 12, ce qui exprime que 3 fois 4 font 12. Ce procédé est trop long. Pour l'abréger, le maître fera bien de faire chercher à l'élève, dans cette table, les produits de tous les nombres multipliés par 2,  et de les lui faire ranger en colonne , depuis 2 fois 2 jusqu'à 2 fois 9. Il fera de même extraire tous les produits des nombres depuis 3 jusqu'à 9 multiplié par 3, et ainsi du reste. On formera de cette manière une table comme nous la donnons ici



    L'élève s'exercera de deux manières sur cette table. Ainsi, après avoir dit 2 fois 3 font 6, 2 fois 4 font 8, il dira en commençant par le chiffre du milieu : 3 fois 2 font 6, 4 fois 2 font 8 etc.
    Tout cela bien su, il apprendra la multiplication dans le livre comme il a procédé pour l'addition et la soustraction.

    Vient ensuite la division, dernière des quatre règles fondamentales sur lesquelles roule toute l'arithmétique. Tous les autres calculs n'étant que des combinaisons de l'addition, de la soustraction, de la multiplication et de la division, on ne saurait revenir trop souvent sur tous les détails de ces opérations.

    La table de multiplication est en même temps une table de division.

    Ainsi, l'élève qui sait que 2 fois 4 font 8, sait également que 8 contient 4 deux fois, ou 2 quatre fois. C'est un des rapports qu'il doit saisir et qu'on doit lui faire observer, mais seulement au moyen des questions.

Quand l'élève sait la division, il passe successivement, et toujours de la même manière aux autres calculs de son auteur. Il insistera surtout sur les proportions et les règles de trois , et, s'attachant à tous les problèmes du livre, les répétant en changeantles nombres, en variant les conditions etc.

M. de Seprès a publié un recueils de problèmes d'arithmétique et d'algèbre, pour joindre à ceux du livre qu'on vérifie.












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